Algèbre linéaire Exemples

$p [\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 8 \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Étape 1

La transformation définit un mappage de $ℝ^{3}$ à $ℝ^{3}$ . Pour prouver que la transformation est linéaire, elle doit conserver la multiplication scalaire, l’addition et le vecteur zéro.

p: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

Étape 2

Commencez par prouver que la transformée préserve cette propriété.

$p (x + y) = p (x) + p (y)$

Étape 3

Définissez deux matrices pour tester si la propriété d’addition est préservée pour $p$ .

$p ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Étape 4

Ajoutez les deux matrices.

$p [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Étape 5

Appliquez la transformation au vecteur.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{26}{14} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Étape 6

Réorganisez $\frac{26}{14}$ .

$p (x + y) = [\begin{array}{c} \frac{41}{14} \\ \frac{13}{7} \\ \frac{101}{14} \end{array}]$

Étape 7

Séparez le résultat en deux matrices en regroupant les variables.

$p (x + y) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 8

Comme la propriété d’addition de transformation n’est pas respectée, ce n’est pas une transformation linéaire.

$p (x + y) \neq p (x) + p (y)$